Hoe laat is het als de klok 13 slaat?

[José]

Hoe laat is het als de klok 13 slaat? Inderdaad, tijd om de klok te
laten repareren.

Toen de klok nog in orde was, sloeg hij het aantal uren op het hele uur
en één keer op het halve uur.

Maar soms slaat het slagwerk niet af. Dan gaat de klok door met slaan.
Dan slaat hij bijvoorbeeld 12+1 keer achter elkaar. Of 7+1+8+1+9 keer.

Welke aantallen kunnen niet voorkomen?

[Izak van Langevelde]

Post by José
Hoe laat is het als de klok 13 slaat? Inderdaad, tijd om de klok te
laten repareren.
Toen de klok nog in orde was, sloeg hij het aantal uren op het hele uur
en één keer op het halve uur.
Maar soms slaat het slagwerk niet af. Dan gaat de klok door met slaan.
Dan slaat hij bijvoorbeeld 12+1 keer achter elkaar. Of 7+1+8+1+9 keer.
Welke aantallen kunnen niet voorkomen?

Een heleboel, net zoals er een heleboel wel kunnen voorkomen. Ik zie zo
geen elegante vergelijking om op te lossen, en heb eigenlijk geen zin
een tabelletje te genereren voor aantallen onder de, pak ze beet,
duizend.

Voor wie er wel trek in heeft, laten we zeggen dat de klok slaat van k
tot en met n uur (1<=k,n<=12), eventueel voorafgegaan en gevolgd door
een enkele slag. Het totaal aantal slagen zonder deze losse slagen aan
begin en einde noem ik s.

We onderscheiden de volgende gevallen:
k<=n: s=k+...+n + n-k (k>1 of n<12)
k=1 en n=12: s=(1+...+12+11)(r+1) (r>=0 is het aantal rondjes dat de
klok blijft slaan)
k> n: s=k+...+12+1+...+n+(12-k+n)+(1+...+12+11)r

De aantallen die wel kunnen voorkomen zijn van de vorm s, s+1 of s+2.

De liefhebber mag het nalopen, de foutjes eruit halen en een keurig
periodiek tabelletje maken van welke aantallen wel en welke aantallen
niet kunnen voorkomen...

[Leon Aigret]

Post by José
Hoe laat is het als de klok 13 slaat? Inderdaad, tijd om de klok te
laten repareren.
Toen de klok nog in orde was, sloeg hij het aantal uren op het hele uur
en één keer op het halve uur.
Maar soms slaat het slagwerk niet af. Dan gaat de klok door met slaan.
Dan slaat hij bijvoorbeeld 12+1 keer achter elkaar. Of 7+1+8+1+9 keer.
Welke aantallen kunnen niet voorkomen?

Gewichten moeten ooit opgehaald worden, veren opgewonden, batterijen,
zonnepanelen en zonnen vervangen, maar verder lijken er geen
beperkingen te zijn.

In een complete twaalfuurscyclus worden precies 90 slagen
geproduceerd, dus als series van 1 t/m 90 slagen alle mogelijk zijn
dan is het verder alleen nog een kwestie van twaalfuurscycli
bijplakken.

Bij een reeks van minder dan 90 slagen wordt geen complete cyclus
doorlopen en vormen de tijden die de cyclus vol maken een tweede
reeks, dus als er reeksen zijn voor 1 t/m 45 slagen dan leveren de
bijpassende aanvullende reeksen de 45 t/m 89 slagen. Rest alleen nog
wat zoekwerk naar die 45 reeksen, waarbij steeds iets hoger en verder
weg hangend fruit geplukt wordt:

Zo eenvoudig mogelijk zijn de reeksen die beginnen met een
halfuursslag en eindigen met een heeluursserie uiterlijk op de
eerstvolgende twaalfuurstand. Het kortst zijn dan de reeksen die 1 uur
beslaan en dus 2 t/m 13 slagen kunnen leveren. Door bij zo'n reeks de
eerste slag weg te laten of een laatste halfuursslag toe te voegen
wordt heel aantal slagen 1 lager of hoger, dus we hebben nu al reeksen
voor 1 t/m 14 slagen.

Het zelfde idee met reeksen die 3 uur beslaan (verslaan?) levert als
slagenaantallen de drievouden 9 t/m 36, die samen met de verkorte en
verlengde varianten alle slagenaantallen van 8 t/m 37 geven. Nu 38 t/m
45 nog.

De 4-uursreeksen beginnen met 14 slagen en lopen in stappen van 4 op
tot 46 slagen. Met verkorte en verlengde reeksen er bij worden dat de
slagenaantallen 13 t/m 47, maar met gaten bij alle viervouden, dus 40
en 44 staan nog steeds open. Gelukkig geven de 5-uursreeksen alle
vijfvouden van 20 t/m 55, dus 40 staat daar bij en na verkorting van
de reeks voor 45 zijn we klaar, kunnen de oordopjes uit en kan deze
oplossing worden afgesloten.

Leon

[José]

Post by Leon Aigret
kunnen de oordopjes uit en kan deze
oplossing worden afgesloten.

Volgens mij heb je het allemaal prima beredeneerd en de conclusie is dat
dat alle aantallen mogelijk zijn, tot het gewicht op de vloer staat.

Overigens heb ik inmiddels het euvel gevonden en vastgesteld dat het
probleem zich uitsluitend om 5 uur kon voordoen. Mogelijke slagen zijn
dus 5+1, 5+1+6, 5+1+6+1 enz en dat vermindert de mogelijkheden
aanmerkelijk.

De klok is inmiddels gerepareerd. Het was maar een kleinigheidje.